１９４１年、オーストリア、フランス、イタリアの血を引く音楽家の両親のもとにアルゼンチンに生まれる。３歳半のとき母からピアノの手ほどきを受け、母は彼の生涯を通じて最も重要な音楽的影響を与えることになる。５歳でアルゼンチンでの初めての公開演奏をおこなった。７歳のときゲルバーは重い小児麻痺にかかり、１年以上まったく寝たきりの生活を送ったが、両親はベッドの上でも弾けるようにピアノを改造し、練習を続けることができた。
１５歳のときにはロリン・マゼール指揮の下、シューマンの協奏曲を演奏して、ゲルバーの名は南米中に知れ渡った。１９歳でパリに留学。彼の演奏を聴いたフランスの名ピアニスト、マルグリット・ロンは「あなたは私の最後の、しかし最高の生徒になるでしょう」と語った。彼女からロン=ティボー国際コンクールへの出場を勧められたゲルバーは第３位に入賞したが、彼こそ優勝にふさわしいとする聴衆とマスコミの間で大いに物議を醸した。ヨーロッパではこれが国際的な活躍のスタートとなり、以後リサイタルやオーケストラとの共演で華やかな活動を繰り広げることとなった。これまで延べ４５００回以上の演奏をおこなっている。
アンセルメ、セルが彼の活動を支援し、チェリビダッケ、デュトワ、マゼール、ロストロポーヴィチ、シャイー、エッシェンバッハ、サロネンなど多くの名指揮者と共演。また、ベルリン・フィル、パリ管、ロンドン響など著名楽団や協会に出演を重ね、ミラノ・スカラ座での演奏のほか、ザルツブルク、エクサンプロヴァンス、ルツェルン、チューリヒなどの音楽祭にも招かれている。米国ではニューヨーク･フィル、フィラデルフィア管、クリーヴランド管などと共演。カーネギーホールでの演奏は、辛口の批評家として知られたショーンバーグから絶賛された。
ゲルバーのレコーディングはすべて世界的に高い評価を得ており、フランスでＡＣＣディスク大賞を２回とＡＤＦディスク大賞を受賞。ＥＭＩやデンオンからも多数リリースしている。
フランスの音楽専門誌「ディアパソン」は、ブルーノ= レオナルド・ゲルバーを“２０世紀の最も偉大な百人のピアニストの一人”に選んだ。
近年の来日では、２００８年におこなったＮ響定期公演を含むツアーが大成功をおさめ、２０１０年、兵庫芸術文化センター管弦楽団、京都市交響楽団、新日本フィルハーモニー交響楽団とのベートーヴェン ピアノ協奏曲においても、聴衆にその健在ぶりを鮮やかに印象づけた。